【題目】等差數列首項和公差都是
,記
的前n項和為
,等比數列
各項均為正數,公比為q,記
的前n項和為
:
(1)寫出構成的集合A;
(2)若將中的整數項按從小到大的順序構成數列
,求
的一個通項公式;
(3)若q為正整數,問是否存在大于1的正整數k,使得同時為(1)中集合A的元素?若存在,寫出所有符合條件的
的通項公式,若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)n為奇數,
;n為偶數,
;(3)存在;
或
或
.
【解析】
(1)直接由等差數列的求和公式得到,再把
分別代入,即可求出集合
;(2)寫出
,根據整數項構成
,得到
或
為
的整數倍,從而得到
的通項;(3)根據
的前n項和為
,根據
同時為(1)中集合A的元素,進行分類討論,從而得到
的通項公式.
(1)因為等差數列的首項和公差都是
,
所以.
把分別代入上式,
得到;
(2)由(1)得,
因為中的整數項按從小到大的順序構成數列
,
所以或
為
的整數倍,
①當,即
時,
此時是
的奇數項,所以
所以,
②當時,
此時是
的偶數項,所以
所以
綜上所述,為奇數,
;
為偶數,
;
(3)①當時,
,
,
所以,
同時為(1)中集合A的元素,
所以,
,得
,
所以,
所以;
②當時,
,
所以,
因為為正整數,正整數
大于
,
所以i)當時,
,
得到,此時
,
,
所以,得
,
故;
ii)當時,
,得
,此時
,
,
所以,得
,
故;
iii)當,
,
時,找不到滿足條件的
.
綜上所述,存在符合條件的,
通項公式為:
或
或
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】拋物線的方程為
,過拋物線
上一點
作斜率為
的兩條直線分別交拋物線
于
兩點(
三點互不相同),且滿足
:
(1)求拋物線的焦點坐標和準線方程;
(2)當時,若點
的坐標為
,求
為鈍角時點
的縱坐標
的取值范圍;
(3)設直線上一點
,滿足
,證明線段
的中點在
軸上;
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的中心為
,一個方向向量為
的直線
與
只有一個公共點
(1)若且點
在第二象限,求點
的坐標;
(2)若經過的直線
與
垂直,求證:點
到直線
的距離
;
(3)若點、
在橢圓上,記直線
的斜率為
,且
為直線
的一個法向量,且
求
的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設點E,F分別是棱長為2的正方體的棱AB,
的中點.如圖,以C為坐標原點,射線CDCB
分別是x軸y軸z軸的正半軸,建立空間直角坐標系.
(1)求向量與
的數量積;
(2)若點M,N分別是線段與線段
上的點,問是否存在直線MN,
平面ABCD?若存在,求點M,N的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,
底面ABC,M是 BC的中點,若底面ABC是邊長為2的正三角形,且PB與底面ABC所成的角為
. 求:
(1)三棱錐的體積;
(2)異面直線PM與AC所成角的大小. (結果用反三角函數值表示)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數
,如果滿足:對任意
,存在常數
,都有
成立,則稱
是
上的有界函數,其中
稱為函數
的上界.
(1)設,判斷
在
上是否為有界函數,若是,請說明理由,并寫出
的所有上界
的集合;若不是,也請說明理由;
(2)若函數在
上是以
為上界的有界函數,求實數
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點F,且與拋物線交于A、B兩點.
(1)求拋物線的焦點F的坐標及準線的方程;
(2)若a為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值,并求此定值.
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