Question

如圖，已知點C（-2，0），直線l：x=-4與x軸交于點A，動點P到直線l的距離為d，且．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點A的直線l交軌跡于M、N兩點，且CN⊥CN，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由，知，由此能求出點p的軌跡方程．
（Ⅱ）A（-4，0），設(shè)l：y=k（x+4），聯(lián)立，由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，得：．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，由此能求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），
∵，
∴…（3分）
平方整理得：x²+2y²=8，
∴點p的軌跡方程為．…（5分）
（Ⅱ）A（-4，0），設(shè)l：y=k（x+4）
聯(lián)立
即（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0…（7分）
△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，
∴8k⁴-（1+2k²）（4k²-1）＞0，
化簡得：…①
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，…（9分）
∵，又CM⊥CN，
∴，
∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即（x₁+2）（x₂+2）+k²（x₁+4）（x₂+4）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+2（1+2k²）（x₂+x₂）+4（1+4k²）=0…（11分）
∴
化簡得：符合①…（13分）
∴直線l的方程是：或…（14分）
點評：本題考查直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線和橢圓位置關(guān)系的綜合運用．