Question

已知圓的方程為x²+y²-6x-8y=0，設圓中過點（2，5）的最長弦與最短弦為分別為AB、CD，則直線AB與CD的斜率之和為（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．-2

Answer 1

【答案】分析：把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標，由（2，5）在圓內，故過此點最長的弦為直徑，最短弦為與這條直徑垂直的弦，所以由圓心坐標和（2，5）求出直線AB的斜率，再根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線CD的斜率，進而求出兩直線的斜率和．
解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x-3）²+（y-4）²=25，
∴圓心坐標為（3，4），
∴過（2，5）的最長弦AB所在直線的斜率為=-1，
又最長弦所在的直線與最短弦所在的直線垂直，
∴過（2，5）最短弦CD所在的直線斜率為1，
則直線AB與CD的斜率之和為-1+1=0．
故選A
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，垂徑定理，直線斜率的計算方法，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，其中得出過點（2，5）最長的弦為直徑，最短弦為與這條直徑垂直的弦是解本題的關鍵．