Question

定義函數(shù)f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，（x＞-2，n∈N^*），其導函數(shù)記為f_n′（x）．
（1）求證：f_n（x）≥nx；
（2）設

fn′(x0)

fn+1′(x0)

=

fn(1)

fn+1(1)

，求證：0＜x₀＜1；
（3）是否存在區(qū)間[a，b]⊆（-∞，0]，使函數(shù)h（x）=f₃（x）-f₂（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]？若存在，求出最小的k值及相應的區(qū)間[a，b]．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）容易證明n=1時原不等式成立，n＞1時，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，求g′（x），并通過g′（x）求得g（x）的最小值為0，從而得到g（x）≥0，從而f_n（x）≥nx，這樣便完成第一問的證明．
（2）先容易證明n=1時，結(jié)論成立，n＞1時，求出x0=

(n-1)2n+1+1

(n+1)(2n-1)

，容易判斷x₀＞0．這時候比較x₀和1的關(guān)系，求x0-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

，通過（1）的結(jié)論說明x₀-1＞0即可；
（3）求出h（x），h′（x），并通過h′（x）的符號判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及極值情況畫出h（x）的圖象，并作直線y=kx，則在直線y=kx與h（x）的交點處，存在區(qū)間[a，b]，使h（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]，根據(jù)圖象找出k的最小值即可．

解答： 解：（1）①n=1時，f₁（x）=x=1•x，∴原不等式成立；
②n＞1時，∵fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx，∴令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]；
∴當x∈（-2，0）時，（1+x）∈（-1，1），∴（1+x）^n-1∈（-1，1），∴g′（x）＜0；
當x∈（0，+∞）時，（1+x）^n-1＞1，∴g′（x）＞0，∴g（0）=0是g（x）的極小值，也是最小值；
∴g（x）≥0，∴（1+x）ⁿ-1-nx≥0，∴f_n（x）≥nx（當x=0時取等號）；
綜上得f_n（x）≥nx．
（2）①n=1時，

f1′(x0)

f2′(x0)

=

1

2(1+x0)

=

f1(1)

f2(1)

=

1

3

，∴x0=

1

2

，∴0＜x₀＜1成立；
②當n＞1時，由已知條件得：

n(1+x0)n-1

(n+1)(1+x0)n

=

2n-1

2n+1-1

；
∴1+x0=

n(2n+1-1)

(n+1)(2n-1)

，x0=

(n-1)2n+1+1

(n+1)(2n-1)

＞0，x0-1=

n+2-2n+1

(n+1)(2n-1)

；
由（1）知當x＞0時，（1+x）ⁿ＞1+nx，∴2ⁿ⁺¹=（1+1）ⁿ⁺¹＞1+n+1=n+2；
∴x₀＜1，∴0＜x₀＜1．
綜上得0＜x₀＜1．
（3）h(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2，h′（x）=（1+x）²+x•2（1+x）=（1+x）（1+3x）；
令h′（x）=0，得x=-1，或-

1

3

；
x∈（-2，-1）時，h′（x）＞0；x∈（-1，-

1

3

）時，h′（x）＜0；x∈（-

1

3

，+∞）時，h′（x）＞0；
∴h（x）的圖象如下圖所示：
下面考查直線y=kx（k＞0）與h（x）的相交問題：
由圖可知：直線y=kx與h（x）存在交點，并且滿足h（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]；
在[-1，0]上，A（-

1

3

，-

4

27

）為h（x）的極小值點，過A作直線y=-

4

27

，與h（x）的圖象交于另一點B(-

4

3

，-

4

27

)；
當直線y=kx（k＞0）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)至點B時，滿足條件的k取最小值，且最小值為

1

9

，相應區(qū)間[a，b]為[-

4

3

，0]．

點評：本題考查極值的概念，構(gòu)造函數(shù)的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫函數(shù)圖象的能力，函數(shù)極值和最值的關(guān)系．