Question

已知各項均為正數的數列{a_n}中，a₁=1，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，有 2S_n=2an2+an-1．函數f（x）=x²+x，數列{b_n}的首項b₁=

3

2

，bn+1=f(bn) -

1

4

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令cn=log2(bn+

1

2

)求證：{c_n}是等比數列并求{c_n}通項公式；
（Ⅲ）令d_n=a_n•c_n，（n為正整數），求數列{d_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用 2S_n=2an2+an-1．推出a_n+1，a_n的關系式，說明數列是等差數列，然后求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用bn+1=f(bn) -

1

4

，以及cn=log2(bn+

1

2

)，推出{c_n}是等比數列，即可求{c_n}通項公式；
（Ⅲ）通過d_n=a_n•c_n，（n為正整數），求出d_n的表達式，利用錯位相減法法直接求解前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由 2S_n=an2+an-1      ①
得2S_n+1=an+12+an+1-1         ②
由②-①，得  2a_n+1=2(an+12-an2)  +an+1-an，
即：2(an+1 -an )(an+1+an)  -(an+1+an)=0（2分）
∴(2an+1 -2an  -1)(an+1+an)=0由于數列{a_n}各項均為正數，
∴2an+1 -2an  -1=0
即  an+1-an=

1

2

∴數列{a_n}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列，
∴數列{a_n}的通項公式是  an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

（4分）
（Ⅱ）由bn+1=f(bn) -

1

4

知bn+1=bn 2+bn- 

1

4

，
所以bn+1+

1

2

= (bn+

1

2

)2，
有log2(bn+1+

1

2

) =log2(bn+

1

2

)2=2log2(bn+

1

2

)，即c_n+1=2C_n（6分）
而c1=log2(b1+

1

2

)=

log

2 2

=1，
故{c_n}是以c₁=1為首項，公比為2的等比數列．
所以c_n=2^n-1（8分）
（Ⅲ）d_n=a_n•c_n=

n+1

2

•2n-1=（n+1）2^n-2，
所以數列{d_n}的前n項和T_n=2•2^-1+3•2⁰+…+n•2^n-3+（n+1）•2^n-2…①．
2T_n=2•2+3•2¹+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1…②．
①-②得-T_n=1+2+2²+…+2^n-2-（n+1）•2^n-1=1+

2(1-2n-2)

1-2

-（n+1）•2^n-1=-n•2^n-1，
解得T_n=n•2^n-1（12分）

點評：本題考查數列的求和，等差數列的通項公式，等差關系的確定，等比關系的確定，錯位相減法的應用，考查計算能力．