Question

若對(duì)于定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x），存在常數(shù)a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，且階數(shù)為a．現(xiàn)有下列4個(gè)命題：
①冪函數(shù)必定不是回旋函數(shù)；
②若sinωx（ω≠0）為回旋函數(shù)，則其最小正周期必不大于2；
③若指數(shù)函數(shù)為回旋函數(shù)，則其階數(shù)必大于1；
④若對(duì)任意一個(gè)階數(shù)為a（a∈[0，+∞））的回旋函數(shù)f（x），方程f（x）=0均有實(shí)數(shù)根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2 個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用回旋函數(shù)的定義，令x=0，則必須有a=0；令x=1，則顯然不成立，故可判斷；
②由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，故有：sinω（x+a）+asinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，從而可求實(shí)數(shù)ω的值，可得結(jié)論；
③若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為m的回旋函數(shù)，利用定義，可得m＜0；
④a=0時(shí)結(jié)論顯然；當(dāng)a≠0時(shí)先假設(shè)存在，利用回旋函數(shù)的定義，易得在區(qū)間（0，a）上必有一個(gè)實(shí)根．

解答： 解：①若（x+a）ⁿ+axⁿ=0對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，令x=0，則必須有a=0，
令x=1，則有（1+a）ⁿ+a=0，顯然a=0不是這個(gè)方程的解，故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)，①正確；
②由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，故有：sinω（x+a）+asinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立
令x=0，可得sinωa=0，令x=

π

2

，運(yùn)用兩角的和的正弦公式可得cosωa=-a，故a=±1，ω=kπ（k為整數(shù)），所以T=|

2

k

|≤2，所以②正確；
③若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為m的回旋函數(shù)，則a^x+m+ma^x=0，∴a^m+m=0，∴m＜0，故③不正確；
④如果a=0，顯然f（x）=0，則顯然有實(shí)根．下面考慮a≠0的情況．
若存在實(shí)根x₀，則f（x₀+a）+af（x₀）=0，即f（x₀+a）=0說明實(shí)根如果存在，那么加a也是實(shí)根．因此在區(qū)間（0，a）上必有一個(gè)實(shí)根．則：f（0）f（a）＜0，由于f（0+a）+af（0）=0，則f（0）=

-f(a)

a

，只要a＞0，即可保證f（0）和f（a）異號(hào)．綜上a≥0，即對(duì)任意一個(gè)階數(shù)為a（a≥0）的回旋函數(shù)f （x），方程f（x）=0均有實(shí)數(shù)根，④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，關(guān)鍵是理解新定義，利用新定義時(shí)，應(yīng)注意賦值法的運(yùn)用，同時(shí)注意運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用：分類討論和反證法．