Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC為底面ABCD的對角線，E為D₁D的中點
（Ⅰ）求證：D₁B⊥AC；
（Ⅱ）求證：D₁B∥平面AEC．

Answer 1

分析：（I）連接BD，由正四棱柱的結構特征，用正方形對角線互相垂直的性質(zhì)，結合線面垂直的判定定理我們可以證明出AC⊥平面D₁DB，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到D₁B⊥AC；
（Ⅱ）BD∩AC=O，連接OE，由三角形中位線定理，我們可得D₁B∥EO，再由線面平行的判定定理，即可得到D₁B∥平面AEC．

解答：證明：（Ⅰ）連接BD
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中DD₁⊥平面ABCD，ABCD是正方形

∵DD1⊥平面ABCD， AC?平面ABCD ∴DD1⊥AC ∵ABCD是正方形 ∴AC⊥BD

∵DD1⊥AC，AC⊥BD，BD∩DD1=D ∴AC⊥平面D1DB ∵D1B?平面D1DB ∴AC⊥D1B

（Ⅱ）設BD∩AC=O，連接OE

∵ABCD是正方形 ∴BO=DO ∵E是D1D的中點 ∴EO是△D1DB的中位線 ∴D1B∥EO ∵D1B?平面AEC，EO?平面AEC ∴D1B∥平面AEC

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間線、面之間位置關系的判定、性質(zhì)、定義是解答本題的關鍵．