Question

在△ABC中，tanB=

1

2

，tanC=

1

3

，且最長邊為

5

．
（1）求A；
（2）△ABC中最短的邊長

Answer 1

分析：（1）先根據三角形內角和可知tanA=tan（π-B-C），進而利用正切的兩角和公式求得tanA的值，進而根據A的范圍求得A．
（2）根據題意和（1）中的結論可推斷出最長邊為a，最短邊為c，進而根據同角三角函數的基本關系求得sinC的值，進而利用正弦定理求得c的值．

解答：解：（1）tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=

tanB+tanC

tanBtanC-1

=

1 2 + 1 3

1 2 × 1 3 -1

=-1
而A∈（0，π）．∴A=

3π

4

（2）由題義及（1）的結論可知．最長邊為a=

5

，最短邊為c
而sinA=

2

2

，由tanC=

1

3

知sinC=

1

10

由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

∴c=

asinC

sina

=

5

×

1

10

×

2

=1
∴△ABC中最短的邊長為

1

2

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，正切的兩角和公式的化簡求值．考查了學生綜合分析問題的能力和運算的能力．