Question

∫

π 2 - π 2

（sin³x+cos²x）dx的值是

 

．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：利用根據(jù)二倍角公式，積化和差公式，和降冪的思想把sin³x+cos²x轉化為=

3

4

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

2

，再根據(jù)微積分基本定理，計算可得．

解答： 解：因為sin³x+cos²x
=sinx（1-cos²x）+cos²x
=sinx-sinxcos²x+cos²x
=sinx-sinx×

1+cos2x

2

+

1+cos2x

2

=sinx-

1

2

sinx-

1

2

sinxcos2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

（sin3x-sinx）+

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

4

sinx+

1

2

=

3

4

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

2

∴

∫

π 2 - π 2

（sin³x+cos²x）dx
=

∫

π 2 - π 2

（

3

4

sinx+

1

2

cos2x-

1

4

sin3x+

1

2

）dx
=（-

3

4

cosx+

1

4

sin2x+

1

12

cos3x+

1

2

x）

|

π 2 - π 2

=（0+0+0+

π

4

）-（0+0+0-

π

4

）
=

π

2

故答案為：

π

2

點評：本題考查了定積分的問題和三角函數(shù)的轉化問題，本題的關鍵是利用轉化思想，尤其是三角函數(shù)中的積化和差公式，屬于難題，
大綱中三角恒等變換
（1）和與差的三角函數(shù)公式
　�、贂�用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式．
②能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式．
③能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
（2）簡單的三角恒等變換
　　能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶）．