Question

如圖，焦點在x軸的橢圓，離心率A，且過點A（-2，1），由橢圓上異于點A的P點發(fā)出的光線射到A點處被直線Q反射后交橢圓于Q點（Q點與P點不重合）．
（1）求橢圓標準方程；
（2）求證：直線PQ的斜率為定值；
（3）求△OPQ的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 2 2 4 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線AP的方程為y=k（x+2）+1，則直線AQ的方程為y=-k（x+2）+1，由

y=kx+2k+1 x2 6 + y2 3 =1

，得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+8k²+8k-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理，能證明直線PQ的斜率為定值．
（3）由（2）設PQ的方程為y=-x+m，由

y=-x+m x2 6 + y2 3 =1

，得：3x²-4mx+2m²-6=0，由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式能求出三角形面積的最大值．

解答： （1）解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞0，b＞0），
∵e=

c

a

=

2

2

，橢圓經(jīng)過點（-2，1），
∴

c a = 2 2 4 a2 + 1 b2 =1

，
解得a=

6

，b=

3

，
∴橢圓方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
（2）證明：設直線AP的方程為y=k（x+2）+1，
則直線AQ的方程為y=-k（x+2）+1，
由

y=kx+2k+1 x2 6 + y2 3 =1

，得（1+2k²）x²+4k（2k+1）x+8k²+8k-4=0，
△＞0，設P（x₁，y₁），由A（-2，1），得
x1+2=

-4k(2k+1)

1+2k2

，x1=

-4k2-4k+2

1+2k2

，
∴P（

-4k2-4k+2

1+2k2

，

-2k2+4k

1+2k2

），
同理，得Q（

-4k2+4k+2

1+2k2

，

-2k2-4k

1+2k2

），
∴k_PQ=

-2k2-4k 1+2k2 - -2k2+4k 1+2k2

-4k2+4k+2 1+2k2 - -4k2-4k+2 1+2k2

=-1．
（3）解：由（2）設PQ的方程為y=-x+m，
由

y=-x+m x2 6 + y2 3 =1

，聯(lián)立，得：3x²-4mx+2m²-6=0，
令△＞0，得-3＜m＜3，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則：
x1+x2=

4m

3

，x1x2=

2m2-6

3

，
∴|PQ|²=

16(9-m2)

9

，
設原點O到直線距離為d，則d²=

m2

2

，
∴S△OPQ2=

1

4

|PQ|2d2=

2m2(9-m2)

9

≤

9

2

，
當m=±

3 2

2

時，△OPQ面積的最大值為

9

2

．

點評：本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．