Question

（2010•龍巖二模）圖甲是一個幾何體的表面展開圖，圖乙是棱長為1cm的正方體．
（Ⅰ）若沿圖甲中的虛線將四個三角形折疊起來，使點M、N、P、Q重合，則可以圍成怎樣的幾何體？請求出此幾何體的體積；
（Ⅱ）需要多少個（I）的幾何體才能拼成一個圖乙中的正方體？請按圖乙中所標字母寫出這幾個幾何體的名稱；
（Ⅲ）在圖乙中，點E為棱AB上的動點，試判斷A₁D與平面C₁D₁E是否垂直，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）圍成的是有一條側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐，然后根據(jù)錐體的體積公式求之即可；
（II）根據(jù)體積可知需要3個（I）的幾何體才能拼成一個圖乙中的正方體，然后列舉即可；
（III）先判定A₁D與平面C₁D₁E是否垂直，然后連接AD₁與BC₁，根據(jù)AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，由線面垂直的判定定理可知AB⊥A₁D，又A₁D⊥AD₁且AD₁∩AB=A，滿足線面垂直的判定定理所需條件，即可證得結論．

解答：解：（I）圍成的是有一條側棱垂直于底面且底面為正方形的四棱錐
其體積是：

1

3

×1×1×1=

1

3

cm²
（II）需要3個（I）的幾何體才能拼成一個圖乙中的正方體，
它們分別是四棱錐C-A₁B₁C₁D₁，C-AA₁B₁B，C-AA₁D₁D
（III）A₁D⊥平面C₁D₁E證明如下：
連接AD₁與BC₁，則平面C₁D₁E即為平面ABC₁D₁．
在正方體中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D
∴AB⊥A₁D
又A₁D⊥AD₁且AD₁∩AB=A
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁即A₁D⊥平面C₁D₁E

點評：本題主要考查了幾何體的體積的度量，以及線面垂直的判定，同時考查了空間想象能力和推理論證的能力，屬于中檔題．