Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，點在直線y=2x+1上，數(shù)列{b_n}滿足
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求證：

Answer 1

【答案】分析：（1）把點（a_n•a_n+1）代入直線方程求得數(shù)列的遞推式，整理得a_n+1+1=2（a_n+1），判斷出{a_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得a_n．同時根據(jù)求得，進而判斷出整理得b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0，進而看當n=1時b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．，綜合可得答案．
（2）根據(jù)（1）可知進而求得=，先看當k≥2時求得，進而可知進而再看n=1時不等式也成立．原式得證．
解答：解：（1）∵點（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，∴a_n+1=2a_n+1∴a_n+1+1=2（a_n+1），
即（a_n+1）是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列∴a_n=2ⁿ-1
又
∴
∴
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2）
當n=1時，b₁=a₁=1，b₂=a₂=3
則b₂a₁-（b₁+1）a₂=-3．

（2）由（1）知
∴．
∵k≥2時，=
∴••
∴
另證：當n≥2時2^n-2≥1（僅當n=2取等號）
∴2ⁿ-1≥3•2^n-2，即
∴當n≥2時，
而n=1顯然成立
∴
即
點評：本題主要考查了不等式和數(shù)列的綜合，數(shù)列通項公式的確定，考查了學生綜合運用不等式和數(shù)列知識解決問題的能力．