已知函數(shù)f(x)=x3+x2+ax+b,g(x)=x3+
x2+ 1nx+b,(a,b為常數(shù)).
(1)若g(x)在x=l處的切線方程為y=kx-5(k為常數(shù)),求b的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為,若存在唯一的實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)=x0與f′(x0)=0同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)令F(x)=f(x)-g(x),若函數(shù)F(x)存在極值,且所有極值之和大于5+1n2,求a的取值范圍.
(1);(2)
;(3)
.
【解析】
試題分析:
解題思路:(1)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到解
即可;(2)求導(dǎo),根據(jù)條件列出關(guān)于
的方程組,消去
,化成關(guān)于
的一元三次方程,構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行求導(dǎo),利用三次方程有唯一解進(jìn)行求
的范圍;(3)構(gòu)造函數(shù),進(jìn)行求導(dǎo),將函數(shù)有極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為0有兩個(gè)不相等的實(shí)根進(jìn)行求解.
規(guī)律總結(jié):三次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判定:首先利用導(dǎo)數(shù)求出三次函數(shù)的極值,設(shè)極小值為,極大值為
;①若
,則有三個(gè)不等的零點(diǎn);②若
或
,則有兩個(gè)不等的零點(diǎn);③若
或
,則有一個(gè)零點(diǎn).
試題解析:(1)∵ 所以直線
的
,當(dāng)
時(shí),
,將(1,6)代入
,得
.
(2) ,由題意知
消去
,
得有唯一解.
令,則
,
所以在區(qū)間(-∞,-
),區(qū)間(-
,+∞)上是增函數(shù),在
上是減函數(shù),
又,故實(shí)數(shù)
的取值范圍是
.
(3)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720365156744941/SYS201411172036562864201605_DA/SYS201411172036562864201605_DA.038.png">存在極值,所以在
上有根即方程
在
上有根.
記方程的兩根為
由韋達(dá)定理
,所以方程的根必為兩不等正根.
所以
滿足方程
判別式大于零
故所求取值范圍為.
考點(diǎn):1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在極坐標(biāo)系中,圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為( ).
A. 和
B. 和
C. 和
D.和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè) f′(x) 是f(x)的導(dǎo)函數(shù),f′(x)的圖象如下圖,則f(x)的圖象只可能是 ( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若對(duì)任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)<-1 B.|a|≤1 C.|a|<1 D.a(chǎn)≥1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),
,
,則( )
(A) (B)
(C)
(D)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
有下列命題:
①函數(shù)與
的圖象關(guān)于
軸對(duì)稱;
②若函數(shù),則函數(shù)
的最小值為-2;
③若函數(shù)在
上單調(diào)遞增,則
;
④若是
上的減函數(shù),則
的取值范圍是
.
其中正確命題的序號(hào)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),在上導(dǎo)數(shù)
>0恒成立,則下列不等式成立的是( ).
A.f(-3)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(2)<f(-3)
C.f(2)<f(-3)<f(-1) D.f(2)<f(-1)<f(-3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)
,則
的值為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知正三角形內(nèi)切圓的半徑與它的高
的關(guān)系是:
,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體,則正四面體內(nèi)切球的半徑
與正四面體高
的關(guān)系是 .
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