Question

已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b為常數(shù)）．

（1）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx－5（k為常數(shù)），求b的值；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：

解題思路：(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到解即可；（2）求導(dǎo)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組，消去，化成關(guān)于的一元三次方程，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行求導(dǎo)，利用三次方程有唯一解進(jìn)行求的范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行求導(dǎo)，將函數(shù)有極值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)為0有兩個(gè)不相等的實(shí)根進(jìn)行求解.

規(guī)律總結(jié)：三次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判定：首先利用導(dǎo)數(shù)求出三次函數(shù)的極值，設(shè)極小值為，極大值為；①若，則有三個(gè)不等的零點(diǎn)；②若或，則有兩個(gè)不等的零點(diǎn)；③若或，則有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：（1）∵ 所以直線的，當(dāng)時(shí)，，將（1，6）代入，得.

（2） ，由題意知消去，

得有唯一解．

令，則，

所以在區(qū)間（-∞，-），區(qū)間（-，+∞）上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

又，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（3）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720365156744941/SYS201411172036562864201605_DA/SYS201411172036562864201605_DA.038.png">存在極值，所以在上有根即方程在上有根.

記方程的兩根為由韋達(dá)定理，所以方程的根必為兩不等正根.

所以滿足方程判別式大于零

故所求取值范圍為.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.