過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1的直線l交拋物線y2=2px（p＞0）于A，B兩點(diǎn)，若AO⊥BO，求拋物線方程．

解：依題意可求得直線l的方程為y+x-4，
代入拋物線方程得 x2-（8+2p）x+16=0，
由韋達(dá)定理得x1x2=16，x1+x2=2p+8
∴y1y2=（-x1+4）（-x2+4）=-8p．
∵AO⊥BO，
∴x1x2+y1y2=0，
∴p=2，
∴拋物線C為：y2=4x．
分析：根據(jù)題意可求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可表示出x1x2和x1+x2，進(jìn)而利用直線方程表示出y1y2，進(jìn)而根據(jù)AO⊥BO，推斷出x1x2+y1y2=0，則p的值可得，進(jìn)而求得拋物線的方程．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=I(a＞0，b＞)的離心率為
3
，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（1，0）且斜率為1的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，并且
FA
•
FB
=4．
（1）求雙曲線方程；
（2）過右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線C右支于P，Q兩點(diǎn)，問在原點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間是否存在點(diǎn)N，使的無論直線l的傾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1的直線l交拋物線y2=2px（p＞0）于A，B兩點(diǎn)，若AO⊥BO，求拋物線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
12
，且橢圓E上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；l1，l2是過點(diǎn)P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A，B兩點(diǎn)，l2交E交C，D兩點(diǎn)，AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N． 
（1）求橢圓E的方程；  
（2）求l1的斜率k的取值范圍；
（3）求證直線OM與直線ON的斜率乘積為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第68課時(shí)）：第八章 圓錐曲線方程-圓錐曲線的應(yīng)用（1）（解析版） 題型：解答題

過點(diǎn)M（0，4）且斜率為-1的直線l交拋物線y2=2px（p＞0）于A，B兩點(diǎn)，若AO⊥BO，求拋物線方程．

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