理科(本小題14分)已知函數(shù),當
時,函數(shù)
取得極大值.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;(Ⅱ)已知結(jié)論:若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且
,則存在
,使得
.試用這個結(jié)論證明:若
,函數(shù)
,則對任意
,都有
;(Ⅲ)已知正數(shù)
滿足
求證:當
,
時,對任意大于
,且互不相等的實數(shù)
,都有
(Ⅰ).
(Ⅱ)
當時,
,
單調(diào)遞增,
;
當時,
,
單調(diào)遞減,
;(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【解析】
試題分析:(Ⅰ). 由
,得
,此時
.
當時,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增;
當時,
,函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞減.
函數(shù)
在
處取得極大值,故
.
3分
(Ⅱ)令, 4分
則.函數(shù)
在
上可導(dǎo),
存在
,使得
.
又
當時,
,
單調(diào)遞增,
;
當時,
,
單調(diào)遞減,
;
故對任意,都有
.
8分
(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當時,
,且
,
,
,
由(Ⅱ)得
,即
,
當
時,結(jié)論成立. 9分
②假設(shè)當時結(jié)論成立,即當
時,
. 當
時,設(shè)正數(shù)
滿足
令
,
則,且
.
13分
當
時,結(jié)論也成立.
綜上由①②,對任意,
,結(jié)論恒成立. 14分
考點:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式的證明,數(shù)學(xué)歸納法。
點評:難題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題(III)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,難度較大。涉及對數(shù)函數(shù),要特別注意函數(shù)的定義域。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)
已知點P ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x ?? –1)的圖象上,且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ?? 0 ).
(1) 求證:| ac | ?? 4;(2) 求證:在(–1,+∞)上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西南昌八一、洪都、麻丘中學(xué)高二上期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)(理科)已知橢圓,過焦點且垂直于長軸的弦長為1,且焦點與短軸兩端點構(gòu)成等邊三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線
交橢圓于
兩點,交直線
于點
,且
,
,
求證:為定值,并計算出該定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知數(shù)列和
滿足:
,
,
,
(
),且
是以
為公比的等比數(shù)列.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,證明:數(shù)列
是等比數(shù)列;
(Ⅲ)(理科做,文科不做)若,求和:
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2012年高考四川卷理科22) (本小題滿分14分)
已知為正實數(shù),
為自然數(shù),拋物線
與
軸正半軸相交于點
,設(shè)
為該拋物線在點
處的切線在
軸上的截距。
(Ⅰ)用和
表示
;
(Ⅱ)求對所有都有
成立的
的最小值;
(Ⅲ)當時,比較
與
的大小,并說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com