Question

討論解關(guān)于x的方程lgx+lg（4-x）=lg（a+2x）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)的定義域，得0＜x＜4，a+2x＞0，從而x²-2x+a=0，由此利用分類討論思想推導(dǎo)出當(dāng)a=1時(shí)，方程只有一個(gè)根，x=1；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)根，分別是x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

；當(dāng)-8＜a≤0時(shí)，方程有一個(gè)根，是x₁=1+

1-a

；當(dāng)a＞1或a≤-8時(shí)，方程無(wú)解．

解答： 解：首先根據(jù)函數(shù)的定義域，得

x＞0 4-x＞0 a+2x＞0

，
∴0＜x＜4，a+2x＞0…（1）
在上述條件下，原方程可改寫為，
x（4-x）=a+2x，
整理，得：x²-2x+a=0…（2）
由△=4-4a=4（1-a）≥0，得a≤1…（3）
當(dāng)a=1時(shí)，只有一個(gè)根，x=1，滿足條件（1）要求，故是原方程的根．
當(dāng)a＜1時(shí)，方程（2）兩個(gè)根分別為：x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

，
對(duì)于x₁：0＜1+

1-a

＜4…（5），a+2（1+

1-a

）＞0…（6）
解方程（5），得

1-a

＜3，解得a＞-8，
解方程（6），得a+2（1+

1-a

）＞0，解得a＞-8，
即對(duì)x₁，僅當(dāng)-8＜a＜1 時(shí)是原方程的根．
對(duì)于x₂：0＜1-

1-a

＜4…（7），a+2（1-

1-a

）＞0…（8）
解方程（7），得0＜a＜1，
解方程（8），得

1-a

＜

a

2

+1，
當(dāng)a＜-2時(shí)，不可能成立．當(dāng)a≥-2時(shí)，a（a+8）＞0，解得a＞0，
即對(duì)x₂，僅當(dāng)0＜a＜1時(shí)是原方程的根．
綜上：當(dāng)a=1時(shí)，方程只有一個(gè)根，x=1；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程有兩個(gè)根，分別是x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

；
當(dāng)-8＜a≤0時(shí)，方程有一個(gè)根，是x₁=1+

1-a

；
當(dāng)a＞1或a≤-8時(shí)，方程無(wú)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查方程的解的個(gè)數(shù)的討論，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．