Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y=x+

3

上到焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)S（0，-

1

3

）的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線方程求出物線y²=4x的焦點(diǎn)F₁坐標(biāo)，求出F₁關(guān)于直線y=x+

3

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，結(jié)合已知條件求出橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則a可求，再由b²=a²-c²求得b²，則橢圓方程可求；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，求出AB垂直于兩坐標(biāo)軸時(shí)以AB為直徑的圓的方程，聯(lián)立方程組解得定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量數(shù)量積證明一般結(jié)論．

解答： 解：（1）由拋物線的焦點(diǎn)可得：F₁（1，0），F(xiàn)₂（-1，0），
點(diǎn)F₁（1，0）關(guān)于直線y=x+

3

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F1′(-

3

，

3

+1)，
故|PF1|+|PF2|≥|F1′F2|=2

2

=2a，
因此a=

2

，b=1，c=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x²+y²=1  …①
當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：x2+(y+

1

3

)2=

16

9

  …②
聯(lián)立①②得，

x=0 y=1

，∴定點(diǎn)M（0，1）．
證明：設(shè)直線l：y=kx-

1

3

，代入

x2

2

+y2=1，
有(2k2+1)x2-

4

3

kx-

16

9

=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4k

3(2k2+1)

，x1x2=

-16

9(2k2+1)

．
則

MA

=(x1，y1-1)，

MB

=(x2，y2-1)，

MA

•

MB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)•

-16

9(2k2+1)

-

4

3

k•

4k

3(2k2+1)

+

16

9

=0．
∴在y軸上存在定點(diǎn)M（0，1），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程的求法，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解是處理這類(lèi)問(wèn)題的最為常用的方法，訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是高考試卷中的壓軸題．