Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足x＞

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時，f（x）＞0，且f（

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）=0，對任意m、n，f（m+n）=f（m）+f（n）+

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，判斷f（x）的單調性．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由條件可令m=n=0，得到f（0），令m=x，n=-x，得到f（-x）=-f（x）-1．由于x＞

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時，f（x）＞0，運用等式，推出x＞0時，f（x）＞-

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，再由單調性的定義，即可得到函數f（x）的單調性．

解答： 解：由于任意m、n，f（m+n）=f（m）+f（n）+

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，
令m=n=0，則f（0）=2f（0）+

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，即有f（0）=-

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，
令m=x，n=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）+

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2

，即有f（-x）=-f（x）-1．
由于x＞

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時，f（x）＞0，
則f（x-

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）=f（x）+f（-

1

2

）+

1

2

=f（x）-f（

1

2

）-

1

2

=f（x）-

1

2

＞-

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2

，
即有x＞0時，f（x）＞-

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2

，
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，有f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+

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2

=f（x₂）-f（x₁）-1+

1

2

=f（x₂）-f（x₁）-

1

2

＞-

1

2

，
即有f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在R上為增函數．

點評：本題考查抽象函數及應用，考查函數的單調性的判斷，注意運用定義，考查解決抽象函數的常用方法：賦值法，屬于中檔題．