已知點列B1(1，y1)，B2(2，y2)，…，Bn(n，yn)，…(n∈N*)順次為直線上的點，點列A1(x1，0)，A2(x2，0)，…，An(xn，0)，…(n∈N*)順次為x軸上的點，其中x1＝a(0＜a＜1)，對任意的n∈N*，點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形．

(1)證明：數(shù)列{yn}是等差數(shù)列；

(2)求證：對任意的n∈N*，xn+2－xn是常數(shù)，并求數(shù)列{xn}的通項公式；

(3)若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有正三角形，若有，求出實數(shù)a

答案：
解析：

　　解：(1)依題意有，于是．

　　所以數(shù)列是等差數(shù)列　　4分

　　(2)由題意得，即，()　�、�

　　所以又有．　�、�

　　由②①得：，所以是常數(shù)．

　　由都是等差數(shù)列．

　　，那么得，

　　．(

　　故　　10分

　　(3)當為奇數(shù)時，，所以

　　當為偶數(shù)時，所以

　　作軸，垂足為則，要使等腰三角形為正三角形，必須且只須：．

　　當為奇數(shù)時，有，即　　①

　　，當時，不合題意．

　　當為偶數(shù)時，有，，同理可求得．

；；當時，不合題意．

　　綜上所述，使等腰三角形中，有正三角形，的值為

　　；；�。�　　16分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）順次為直線y=
x4
上的點，點列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形．
（Ⅰ）求證：對任意的n∈N*，xn+2-xn是常數(shù)，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知點列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點，點列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點的等腰三角形．
（1）求{yn}的通項公式，且證明{yn}是等差數(shù)列；
（2）試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)（不必證明），并求出數(shù)列{xn}的通項公式；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•上海模擬）已知點列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）順次為直線y=
x4
上的點，點列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點An、Bn、An+1構(gòu)成以Bn為頂點的等腰三角形．
（1）證明：數(shù)列{yn}是等差數(shù)列；
（2）求證：對任意的n∈N*，xn+2-xn是常數(shù)，并求數(shù)列{xn}的通項公式；
（3）對上述等腰三角形AnBnAn+1添加適當條件，提出一個問題，并做出解答．（根據(jù)所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點，點列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構(gòu)成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形．
（1）求數(shù)列{yn}2的通項公式，并證明{yn}3是等差數(shù)列；
（2）證明xn+2-xn5為常數(shù)，并求出數(shù)列{xn}6的通項公式；
（3）問上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：陜西省寶雞中學2012屆高三第四次月考數(shù)學理科試題 題型：044

已知點列B1(1，y1)、B2(2，y2)、…、Bn(n，yn)(n∈N+)順次為一次函數(shù)y＝x＋圖像上的點，點列A1(x1，0)、A2(x2，0)、…、(n∈N+)順次為x軸正半軸上的點，其中x1＝a(0＜a＜1)，對于任意n∈N+，點構(gòu)成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形．

(1)求數(shù)列{yn}的通項公式，并證明{yn}是等差數(shù)列；

(2)證明為常數(shù)，并求出數(shù)列{xn}的通項公式；

(3)在上述等腰三角形中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由．

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