Question

下列命題：
①已知△ABC中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，B是△ABC中最大角，且

a

•

b

＜0，則△ABC為鈍角三角形；
②若sinA=

4

5

，則

5sinA+8

15cosA-7

=6；
③若sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

且α、β為銳角，則α+β=

π

4

；
④已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=aqⁿ（a≠0，q≠1，q為非零常數(shù)），則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．
其中正確的命題序號

 

．（注：把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：①利用向量的數(shù)量積可判斷出cosB＞0，而B是△ABC中最大角，從而可知△ABC為銳角三角形；
②依題意，可求得cosA=±

3

5

，將其代入

5sinA+8

15cosA-7

計算即可判斷②；
③利用同角三角函數(shù)間的關系及兩角和的余弦可判斷③；
④令q=-1，可求得a₁、a₂、a₃，從而可判斷④．

解答： ?解：①△ABC中，

AB

=

a

，

BC

=

b

，∵

a

•

b

=|

a

||

b

|cos（π-B）＜0，
∴cosB＞0，又B是△ABC中最大角，
∴△ABC為銳角三角形，故①錯誤；
②∵sinA=

4

5

，∴cosA=±

1-sin2A

=±

3

5

，
當cosA=

3

5

時，

5sinA+8

15cosA-7

=

5× 4 5 +8

15× 3 5 -7

=6；
當cosA=-

3

5

時，

5sinA+8

15cosA-7

=

5× 4 5 +8

15×(- 3 5 )-7

=-

3

4

≠6，故②錯誤；
③∵sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

且α、β為銳角，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，同理可得cosβ=

3 10

10

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2 5

5

•

3 10

10

-

5

5

•

10

10

=

2

2

，
∴α+β=

π

4

，故③正確；
④令q=-1，則a₁=-a，a₂=S₂-S₁=a-（-a）=2a，a₃=S₃-S₂=-a-a=-2a，顯然a₁、a₂、a₃不能構(gòu)成等比數(shù)列，故④錯誤；
綜上所述，正確的命題序號為：③，
故答案為：③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查向量的數(shù)量積的應用，考查同角三角函數(shù)間的關系及兩角和的余弦，考查等比關系的確定，屬于中檔題．