Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），其圖象過點（

π

6

，

1

2

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），其圖象過點（

π

6

，

1

2

）．我們將（

π

6

，

1

2

）代入函數(shù)的解析式，結(jié)合φ的取值范圍，我們易示出φ的值．
（II）由（1）的結(jié)論，我們可以求出y=f（x），結(jié)合函數(shù)圖象的伸縮變換，我們可以得到函數(shù)y=g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法，不難求出函數(shù)的最大值與最小值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），
又因為其圖象過點（

π

6

，

1

2

）．
∴

1

2

=

1

2

sin(2×

π

6

)sin?+cos2

π

6

cosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)
解得：φ=

π

3

（II）由（1）得φ=

π

3

，
∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）
=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴g(x)=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∵x∈[0，

π

4

]
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當(dāng)4x+

π

6

=

π

2

時，g（x）取最大值

1

2

；
當(dāng)4x+

π

6

=

7π

6

時，g（x）取最小值-

1

4

．

點評：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即二倍角等基本公式的靈活應(yīng)用、圖象變換及三角函數(shù)的最值問題、分析問題與解決問題的能力．已知函數(shù)圖象求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式時，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標(biāo)來確定φ，但由圖象求得的y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范圍，才能得出唯一解，否則φ的值不確定，解析式也就不唯一．