Question

17．函數(shù)y=$\frac{{{x^2}-x+3}}{x-1}$（x∈[3，+∞））的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 函數(shù)化為y=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+1，（x≥3）．令t=x-1（t≥2），y=t+$\frac{3}{t}$+1，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{{{x^2}-x+3}}{x-1}$=x+$\frac{3}{x-1}$=（x-1）+$\frac{3}{x-1}$+1，（x≥3）．
令t=x-1（t≥2），y=t+$\frac{3}{t}$+1，
由y′=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，當t≥2時，導數(shù)y′＞0，函數(shù)y遞增，
即有t=2即x=3時，取得最小值，且為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和導數(shù)，判斷單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．