Question

某農(nóng)場(chǎng)預(yù)算用5600元購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為50元（每噸）的鉀肥和20元（每噸）的氮肥，希望使兩種肥料的總數(shù)量（噸）盡可能的多，但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù)，且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍．
（1）設(shè)買(mǎi)鉀肥x噸，買(mǎi)氮肥y噸，按題意列出約束條件、畫(huà)出可行域，并求鉀肥、氮肥各買(mǎi)多少才行？
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）在（1）中的可行域內(nèi)，求t=

y+20

x-10

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用

專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合

分析：（1）題意得約束條件，畫(huà)出可行域，數(shù)形結(jié)合的方法得到結(jié)果；（Ⅱ）t=

y+20

x-10

表示（Ⅰ）中可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)B（10，-20）連線(xiàn)的斜率，利用幾何意義解決．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)肥料總數(shù)為z，z=x+y，由題意得約束條件

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤5600 x≥0 y≥0

，即

x≤y y≤ 3 2 x 5x+2y≤560 x≥0 y≥0

-----（2分）
畫(huà)出可行域（如圖）-------（4分）
目標(biāo)函數(shù)：z=x+y，即y=-x+z，
表示斜率為-1，y軸上截距為z的平行直線(xiàn)系．
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)N時(shí)，z最大．
聯(lián)立方程

y= 3 2 x 5x+2y=560

，解得N（70，105）
此時(shí)z_max=x+y=70+105=175．∴購(gòu)買(mǎi)鉀肥70噸，氮肥105噸時(shí)，兩種肥料的總數(shù)量最大為175噸------（7分）
（Ⅱ）t=

y+20

x-10

表示（Ⅰ）中可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)B（10，-20）連線(xiàn)的斜率．
聯(lián)立方程

y=x 5x+2y=560

，解得M（80，80）kBO=

-20-0

10-0

=-2，kNO=

80-(-20)

80-10

=

10

7

，∴t∈(-∞，-2]∪[

10

7

，+∞)--------------（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是線(xiàn)性規(guī)劃中的應(yīng)用問(wèn)題，t=

y+20

x-10

的幾何意義，數(shù)形結(jié)合是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．