Question

設(shè)關(guān)于x的不等式lg（|x+3|+|x-7|）＞a
（1）當(dāng)a=1時，解這個不等式；
（2）當(dāng)a為何值時，這個不等式的解集為R．

Answer 1

【答案】分析：（1）轉(zhuǎn)化成絕對值不等式，令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集．
（2）解決恒成立問題，可將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f（x）的最小值大于a即可．
解答：解：（1）由題意得：|x+3|+|x-7|＞10，
當(dāng)x≥7時x+x-4＞10得：x＞7（3分）
當(dāng)-3＜x＜7時，x+4-x＞10不成立（5分）
當(dāng)x≤-3時-x+4-x＞10得：x＜-3（7分）
解得：x＜-3或x＞7（6分）
（2）設(shè)t=|x+3|+|x-7|，
則由對數(shù)定義及絕對值的幾何意義知t≥10，
因y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∵|x+3|+|x-7|的最小值為10，
∴l(xiāng)g（|x+3|+|x-7|）的最小值為1（8分）
要使不等式的解集為R，則須a＜1（10分）
點評：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，以及絕對值不等式的解法，所謂零點分段法，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集．