Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），問(wèn)是否存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

Answer 1

解：（1）在已知式中，當(dāng)n=1時(shí)，a₁³=S₁²=a₁²
∵a₁＞0∴a₁=1…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²②
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）
∵a_n＞0∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n③
∵a₁=1適合上式…（4分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1④
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得a_n=n…（6分）
（2）假設(shè)存在整數(shù)λ，使得對(duì)任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n∴
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴⑤…（8分）
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，⑤式即為⑥
依題意，⑥式對(duì)k∈N^*都成立，∴λ＜1…（10分）
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，⑤式即為⑦
依題意，⑦式對(duì)k∈N^*都成立，
∴…（12分）
∴
∴存在整數(shù)λ=-1，使得對(duì)任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n…（14分）
分析：（1）利用n=1求出a₁，利用a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，做差推出a_n-a_n-1=1證明是等差數(shù)列．
（2）假設(shè)存在λ使得滿足題意，然后計(jì)算化簡(jiǎn)b_n+1-b_n，再結(jié)合恒成立問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意的n∈N*恒成立．然后分n為奇偶數(shù)討論即可獲得λ的范圍，再結(jié)合為整數(shù)即可獲得問(wèn)題的解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的知識(shí)、分類討論的知識(shí)以及恒成立問(wèn)題的解答規(guī)律．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．