解:(1)在已知式中,當n=1時,a
13=S
12=a
12∵a
1>0∴a
1=1…(2分)
當n≥2時,a
13+a
23+a
33+…+a
n3=S
n2①a
13+a
23+a
33+…+a
n-13=S
n-12②
①-②得,a
n3=S
n2-S
n-12=(S
n-S
n-1)(S
n+S
n-1)
∵a
n>0∴a
n2=S
n+S
n-1=2S
n-a
n③
∵a
1=1適合上式…(4分)
當n≥2時,a
n-12=2S
n-1-a
n-1④
③-④得:a
n2-a
n-12=2(S
n-S
n-1)-a
n+a
n-1=2a
n-a
n+a
n-1=a
n+a
n-1∵a
n+a
n-1>0∴a
n-a
n-1=1
∴數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,首項為1,公差為1,可得a
n=n…(6分)
(2)假設存在整數(shù)λ,使得對任意 n∈N
*,都有b
n+1>b
n.
∵a
n=n∴

∴b
n+1-b
n=[3
n+1+(-1)
nλ•2
n+1]-[3
n+(-1)
n-1λ•2
n]=2•3
n-3λ(-1)
n-1•2
n>0
∴

⑤…(8分)
當n=2k-1(k∈N
*)時,⑤式即為

⑥
依題意,⑥式對k∈N
*都成立,∴λ<1…(10分)
當n=2k(k∈N
*)時,⑤式即為

⑦
依題意,⑦式對k∈N
*都成立,
∴

…(12分)
∴

∴存在整數(shù)λ=-1,使得對任意n∈N
*,都有b
n+1>b
n…(14分)
分析:(1)利用n=1求出a
1,利用a
13+a
23+a
33+…+a
n3=S
n2,a
13+a
23+a
33+…+a
n-13=S
n-12,做差推出a
n-a
n-1=1證明是等差數(shù)列.
(2)假設存在λ使得滿足題意,然后計算化簡b
n+1-b
n,再結(jié)合恒成立問題進行轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為:

對任意的n∈N*恒成立.然后分n為奇偶數(shù)討論即可獲得λ的范圍,再結(jié)合為整數(shù)即可獲得問題的解答.
點評:本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題.在解答的過程當中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項與前n項和的知識、分類討論的知識以及恒成立問題的解答規(guī)律.值得同學們體會和反思.