Question

已知向量

a

=（cos（x+

π

8

），sin²（x+

π

8

）），

b

=（sin（x+

π

8

），1），函數(shù)f（x）=2

a

•

b

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程；
（2）求函數(shù)y=f（-

1

2

x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算、二倍角公式和兩角和與差的正弦、余弦公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求函數(shù)的對(duì)稱中心坐標(biāo)、對(duì)稱軸方程；
（2）先由（1）求得y的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)y的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=2

a

•

b

-1
=2[cos（x+

π

8

）sin（x+

π

8

）+sin²（x+

π

8

））]-1
=2cos（x+

π

8

）sin（x+

π

8

）+2sin²（x+

π

8

））-1
=sin（2x+

π

4

）-cos（2x+

π

4

）
=

2

sin(2x+

π

4

-

π

4

)=

2

sin2x，
由2x=kπ（k∈Z）得，x=

kπ

2

，
所以函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)是（

kπ

2

，0）（k∈Z），
由2x=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

4

+

kπ

2

，
函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸方程是x=

π

4

+

kπ

2

（k∈Z）；
（2）由（1）得，y=f（-

1

2

x）=

2

sin(-2×

1

2

x)=-

2

sinx，
函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間是：[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ](k∈Z)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題過程中注意運(yùn)用整體的思想來解決三角函數(shù)問題．