Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和極值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．
（3）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令f′（x）=0，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值；
（2）根據(jù)（1）的條件，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，

1

a

），減區(qū)間為（

1

a

，+∞），因?yàn)?span id="hb2pv2d" class="MathJye">

1

a

與1，2大小不知道，所以對(duì)其進(jìn)行討論，分情況求出函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值；
（3）把a(bǔ)=

3

4

代入函數(shù)f（x）求出去單調(diào)區(qū)間，再求出去最值，假設(shè)存在，我們可以取f（x）的最小值和最大值組成一個(gè)區(qū)間，并對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證；

解答：解：（1）∵f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

(x＞0)，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=

1-ax

x

＞0，即函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），此時(shí)f（x）無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=

1-ax

x

=0得，x=

1

a

＞0．列表如下：

x	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞），
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)增	極大值	單調(diào)減

由上表知：函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)為x=

1

a

，且在該極值點(diǎn)處有極大值為f（

1

a

）=-lna-1．…（4分）
（2）由（1）知：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（0，

1

a

），減區(qū)間為（

1

a

，+∞）．
①若

1

a

≤1即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，所以（f（x））_min=f（2）=ln2-2a，；
②若

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，所以（f（x））_min=f（1）=-a，；
③若1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，

1

a

）上為增函數(shù)，在區(qū)間（

1

a

，2）為減函數(shù)，
又f（2）-f（1）=ln2-a，所以，當(dāng)

1

2

＜a＜ln2時(shí)，（f（x））_min=f（1）=-a，；
當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，（f（x））_min=f（2）=ln2-2a，
綜上可知：當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，（f（x））_min=f（1）=-a，；
當(dāng)a≥ln2時(shí)，（f（x））_min=f（2）=ln2-2a，
（3）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，由（2）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，

4

3

）上為增函數(shù)，在區(qū)間（

4

3

，2）為減函數(shù)，
所以（f（x））_min=f（

4

3

）=ln

4

3

-1，又f（2）-f（1）=ln2-

3

4

＜0，所以，
（f（x））_min=f（2）=ln2-

3

2

．
故函數(shù)y=f（x），x∈[1，2]的值域?yàn)閇ln2-

3

2

，ln

4

3

-1]．
據(jù)此可得，若

m=ln2- 3 2 M=ln 4 3 -1

，相對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都有公共點(diǎn)；
并且對(duì)每一個(gè)t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都沒有公共點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a=

3

4

時(shí)，存在最小的實(shí)數(shù)m=ln2-

3

2

，最大的實(shí)數(shù)M=ln

4

3

-1，使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x），x∈[1，2]都有公共點(diǎn)．              …（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想．其中問題（3）是一個(gè)存在性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．