已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓與曲線的交點為、，求面積的最大值.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點是橢圓的短軸長，可以求出，再根據(jù)離心率及，從而能夠求出；（2）設出點坐標，從而寫出的方程，根據(jù)橢圓的對稱性能夠表示出的面積，聯(lián)立直線與橢圓，求出代入到的面積，進一步表示出面積，根據(jù)均值不等式能夠求出面積的最大值.

試題解析：（1）拋物線的焦點為，∴

又橢圓離心率，∴，

所以橢圓的方程為

（2）設點，則，連交軸于點，

由對稱性知：

由     得：

，

（當且僅當即時取等號）

面積的最大值為.

考點：橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，左焦點為F1（-3，0），右準線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標準方程和離心率e；
（2）設P為橢圓上第一象限的點，F(xiàn)2為右焦點，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，且橢圓過點P（3，2），焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，一個焦點F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點A，B．求△AOB的面積．

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