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定義在R上的函數，，當x＞0時，，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.

（1）求證：f（0）=1；

（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；

（3）求證：f（x）是R上的增函數；

（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范圍.

略


解析:

抽象函數問題要充分利用“恒成立”進行“賦值”，從關鍵等式和不等式的特點入手。

（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f 2（0）.

又f（0）≠0，∴f（0）=1.

（2）證明：當x＜0時，－x＞0，

∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.

∴f（－x）=＞0.又x≥0時f（x）≥1＞0，

∴x∈R時，恒有f（x）＞0.

（3）證明：設x1＜x2，則x2－x1＞0.

∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.

∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.

又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）·f（x1）＞f（x1）.

∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函數.

（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數，

∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數，且滿足以下條件：
①f(x)=
g(x)
ax
（a＞0，且a≠1）；
②g（x）≠0；
③f（x）?g′（x）＞f′（x）?g（x）．
若
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，則a等于（　�。�
A、
1
2
B、
5
4
C、2
D、2或
1
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

設定義在R上的函數f（x）=
1
|x-1|
，x≠1
1，x=1
，若關于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0，有3個不等的實數根x1，x2，x3，則x1+x2+x3=（　　）
A、0B、1C、3D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在R上的函數y=f（x）滿足：對任意的x，y∈R都有f(x)+f(y)=f(
x2+y2
)成立，f（1）=1，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（-1）的值，并判斷y=f（x）的奇偶性；
（2）證明：y=f（x）在（0，+∞）上的單調遞增；
（3）若關于x的方程2f(x)=f(
a(x-1)
x+1
)在（2，+∞）上有兩個不同的實根，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x）-f（-x）=0，且f（x）在區(qū)間（-∞，0]上遞減，且有f（a+1）＞f（2a-1），求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網若定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數H（x）=|xex|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點個數為（　�。�
A、5B、4C、3D、2

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