Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)

AP

=α

AD

+β

AB

（α，β∈R），則α+β的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)為三角函數(shù)：α+β=y+

x

3

=1+

1

10

sinθ+

1

3

+

1

3

（1+

1

10

cosθ）=

4

3

+

1

3 10

cosθ+

1

10

sinθ，利用三角變換公式求解．

解答： 解：以AB為x軸，以AD為y軸，建立坐標(biāo)系，
∵在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3
∴A（0，0），D（0，1），B（3，0），C（1，1）
∴直線BD的方程為：y=-

1

3

x+1，即x+3y-3=0，
C（1，1）點(diǎn)到直線的距離為：

10

10

∴以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓的方程為：
（x-1）²+（y-1）²=

1

10

，x=1+

1

10

cosθ，y=1+

1

10

sinθ
設(shè)P（x，y）則：（x-1）²+（y-1）²≤

1

10

，
∵

AP

=α

AD

+β

AB

，（α，β∈R），
∴（x，y）=（3β，α）
∴α+β=y+

x

3

=1+

1

10

sinθ+

1

3

+

1

3

（1+

1

10

cosθ）=

4

3

+

1

3 10

cosθ+

1

10

sinθ=

4

3

+

1

3

sin（θ+λ）
∵-

1

3

＜

1

3

sin（θ+λ）＜

1

3

，
1＜

4

3

+

1

3

sin（θ+λ）＜

5

3

，
∴α+β的取值范圍是（1，

5

3

）
故答案為：(1，

5

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量與三角函數(shù)的運(yùn)用，屬于中檔題．