Question

定義[x]表示不超過x的最大整數，例如：[1.5]=1，[-1.5]=-2，若f（x）=sin（x-[x]），則下列結論中：正確的序號為

 

①y=f（x）是奇函數；  
②y=f（x）是周期函數，周期為2π；  
③y=f（x）的最小值為0，無最大值； 
④y=f（x）無最小值，最大值為sin1．

Answer 1

分析：舉出反例f（-1.5）=f（1.5）≠0可判斷①；根據f（x+1）=f（x）可得1為函數的周期，可判斷②；求出函數的值域，進而可判斷③④

解答：解：由已知中，f（x）=sin（x-[x]），[x]表示不超過x的最大整數，
可得f（1.5）=sin（1.5-[1.5]）=sin0.5，f（-1.5）=sin（-1.5-[-1.5]）=sin0.5，f（-1.5）=f（1.5）≠0，故①y=f（x）是奇函數錯誤；  
f（x+1）=sin（x+1-[x+1]）=sin（x+1-[x]-1）=sin（x-[x]）=f（x），1＜2π，故②y=f（x）是周期函數，周期為2π錯誤；  
由g（x）=x-[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是單調遞增的周期函數，且g（x）∈[0，1），故y=f（x）=sin（x-[x]）∈[0，sin1），即y=f（x）的最小值為0，無最大值，故③正確； ④錯誤．
綜上，正確序號為③．
故答案為：③

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的周期性，函數的最值，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．