Question

【題目】已知函數.

（1）若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）設關于的方程的兩個不等實根，求證：（其中為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析:(1)求出函數的定義域和導函數,對參數m進行討論得出函數的單調性,根據零點存在性定理判斷零點的個數,求出m的取值范圍;(2) 記函數，，則函數的兩個相異零點為,將零點代入寫出方程,并對兩式相加和相減,再利用分析法以及變量集中構造新函數,并利用導數求最值的方法證得命題成立.

試題解析:

（1）由題意知的定義域為，

且.

①當時，，在區(qū)間上單調遞增，

又，，

∴，即函數在區(qū)間有唯一零點；

②當時，，

令，得.

又易知函數在區(qū)間上單調遞增，

∴恰有一個零點.

③當時，令，得，

在區(qū)間上，，函數單調遞增；

在區(qū)間上，，函數單調遞減，

故當時，取得極大值，

且極大值為，無極小值.

若恰有一個零點，則，解得，

綜上所述，實數的取值范圍為.

（2）記函數，，

則函數的兩個相異零點為

不妨設，

∵，，

∴，，

兩式相減得，

兩式相加得.

∵，

∴要證，即證，

只需證，

只需證，

即證，

設，則上式轉化為，

設，，

∴在區(qū)間上單調遞增，

∴，∴，

即，即.

點睛:本題考查函數的應用,利用導數解決函數的零點以及函數的單調性,最值和不等式的證明等問題. 本題也考查了零點存在性定理的應用,如果函數在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數在區(qū)間[a,b]內有零點,即存在,使得,這個c也就是方程的實數根.但是反之不一定成立.