Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分別是棱AB，A₁D₁上的點，PQ⊥AC，則PQ與BD₁所成角的余弦值得取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：由題意畫出圖形，根據P，Q分別是棱AB，A₁D₁上的點，且PQ⊥AC，得到當P與B重合，Q與D₁重合時PQ與BD₁所成角最小為0°，當P與A重合，Q與A₁重合時PQ與BD₁所成角最大，為圖中的∠B₁BD₁，設出正方體棱長通過解直角三角形求得角的余弦值，則PQ與BD₁所成角的余弦值得取值范圍可求．

解答： 解：如圖，

∵P，Q分別是棱AB，A₁D₁上的點，且PQ⊥AC，
∴當P與B重合，Q與D₁重合時，滿足PQ⊥AC，
此時PQ與BD₁重合，所成角最小，所成角的余弦值最大為1，
當P與A重合，Q與A₁重合時，此時AA₁在平面BB₁D₁D上的射影與BD₁所成角最大，
即PQ與BD₁所成角最大，也就是圖中的∠B₁BD₁．
設正方體的棱長為a，則B1D1=

2

a，BD1=

3

a，
∴cos∠B1BD1=

a

3 a

=

3

3

．
∴PQ與BD₁所成角的余弦值得取值范圍是[

3

3

，1]．
故答案為：[

3

3

，1]．

點評：本題考查異面直線所成的角，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．