Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有a^x＞0，進(jìn)而可得函數(shù)解析式恒有意義，即可得到函數(shù)f（x）的定義域；由f（x）=1-

2

ax+1

，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域利用分析法，可求出值域．
（2）任取實(shí)數(shù)x，判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷此函數(shù)的奇偶性．
（3）任取實(shí)數(shù)x₁＜x₂，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．

解答：解：（1）∵?x∈R，都有a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
故函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．
∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

，
而a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
∴0＜

2

ax+1

＜2，
∴-2＜-

2

ax+1

＜0，
∴-1＜1-

2

ax+1

＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
（2）函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上是奇函數(shù)．下面給出證明．
∵?x∈R，f（-x）=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-

ax-1

ax+1

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上是奇函數(shù)．
（3）?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ax1+1

-（1-

2

ax2+1

）=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

，
若a＞1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增．
若0＜a＜1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的定義域、值域、奇偶性及單調(diào)性，熟練掌握以上知識(shí)及方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．