正四面體ABCD的外接球的體積為4
3
π，則正四面體ABCD的體積是
 
．
考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離
分析：設(shè)正四面體的棱長為x，求出正四面體的高，由于外接球的體積為4
3
π，運(yùn)用體積公式，解得r=
3
，利用勾股定理求出x的值，運(yùn)用棱錐的體積公式，可求正四面體ABCD的體積．
解答： 解：設(shè)正四面體的棱長為x，
則底面三角形的高為
3
2
x，即有BH=
2
3
×
3
2
x=
3
3
x，
棱錐的高為AH=
AB2-BH2
=
x2-
1
3
x2
=
6
3
x，
由于外接球的體積為4
3
π，即有
4
3
πr3=4
3
π，解得r=
3
，
在直角三角形BOH，得BO2=BH2+OH2，
即有r2=（
6
3
x-r）2+（
3
3
x）2，解得x=
2
6
3
r=2
2
，
則正四面體ABCD的體積為
1
3
×AH•S△BCD=
1
3
×
6
3
×2
2
×
3
4
×（2
2
）2=
8
3

故答案為：
8
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接多面體的知識(shí)，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+（2a+1）x+1-3a，其中a≠0．
（1）若函數(shù)y=f（x）在（-∞，2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（lgx）=0的兩根之積x1•x2=10，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
OA
=
e1
，
OB
=
e2
，若
e1
與
e2
不平行，點(diǎn)P在線段AB上|AP|=2|PB|，如圖所示，則
OP
=（　　）
A、
1
3
e1
-
2
3
e2
B、
2
3
e1
+
1
3
e2
C、
1
3
e1
+
2
3
e2
D、
2
3
e1
-
1
3
e2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD，BC中點(diǎn)，P是BF的中點(diǎn)，如圖將該正方形以EF為棱折成60°的二面角D-EF-A，則直線DP和平面ABFE所成角的正切值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求和點(diǎn)O（0，0），A（c，0）距離的平方差為常數(shù)c的點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=3，（n+1）an=（n-1）an-1，Sn是前n項(xiàng)和，求
lim
n→+∞
Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lg（x-1），g（x）=lg（x2+1）
（1）求f（x）和g（x）的定義域；
（2）判斷g（x）奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．
（1）求a1的值，并證明數(shù)列{
an
2n
}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=log2
an
n+1
，數(shù)列{
1
bn
}的前n項(xiàng)和為Bn，若存在整數(shù)m，使對(duì)任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞
m
20
成立，求m的最大值．

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