Question

函數f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx的值域為（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-1，

  2

  +

  1

  2

  ]
• C、[-1，

  2

  -

  1

  2

  ]
• D、[-1，

  2

  ]

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：首先采用換元法設sinx+cosx=t，利用三角函數關系式的恒等變換，把函數關系式轉化成二次函數的標準形式，進一步利用函數的定義域求函數的值域．

解答： 解：設sinx+cosx=t（-

2

≤t≤

2

）
所以：sinxcosx=

t2-1

2

則：f（x）=sinx+cosx+sinx•cosx
=t+

t2-1

2

=

1

2

(t+1)2-1
當t=

2

時，函數取最大值：f(x)max=f(

2

)=

2

+

1

2

當t=-1時，函數取最小值：f（x）_min=f（-1）=-1
所以函數的值域為：[-1，

2

+

1

2

]
故選：B．

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變形，換元法的應用，利用復合函數求函數的最值問題．屬于基礎題型．