已知點An(xn,yn)(n∈N+,xn≠0)在拋物線y=x2上,過An點的拋物線的切線ln交x軸于點Bn+1(xn+1,0).設(shè)x1=1,

(1)

求切線l1的方程

(2)

求數(shù)列{xn}的通項公式

(3)

設(shè)bn=nxn,Sn,證明:當n>3時,Sn>3.

答案:
解析:

(1)

  解:∵點A1(x1,y1)在拋物線y=x2上,且x1=1,∴y1=1,即A點坐標是(1,1).

  又∵l1的斜率為=2,

  ∴l(xiāng)1的方程為2x-y-1=0.

  分析:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線ln的斜率關(guān)于切點坐標的表達式

(2)

  ∵An在拋物線上,∴yn=,∴點An(xn,).

  ∵ln的斜率為=2xn,又直線ln過An、Bn+1兩點,

  ∴=2xn

  ∴,∴{xn}是以x1=1為首項,為公比的等比數(shù)列.∴xn=

  分析:由斜率公式得數(shù)列{xn}的遞推關(guān)系.

(3)

  ∵bn=n·,∴Sn=1+2·+3·+…+n·    �、�

  Sn=+2·+3·+…+(n-1)·+n· �、�

 �、伲�,得Sn=1++…+-n·,

  ∴Sn=4

  ∵當>3時,,∴數(shù)列是遞減數(shù)列.

  又數(shù)列也是遞減數(shù)列∴Sn是一個遞增數(shù)列,故當n>3時,Sn≥S4=

  點評:當點的坐標所成的數(shù)列的通項與曲線的切線相關(guān)時,可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出相關(guān)點的坐標關(guān)于切點坐標的關(guān)系式,設(shè)法得到數(shù)列的通項.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點,點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)順次為x軸正半軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N,點An、Bn、An+1構(gòu)成以
Bn為頂點的等腰三角形.
(1)求{yn}的通項公式,且證明{yn}是等差數(shù)列;
(2)試判斷xn+2-xn是否為同一常數(shù)(不必證明),并求出數(shù)列{xn}的通項公式;
(3)在上述等腰三角形AnBnAn+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點Bn(n,yn),…(n∈N+)是某直線l上的點,以Bn為圓心作圓.所作的圓與x軸交于An和An+1兩點,記An、An+1的橫坐標分別為xn、xn+1.其中x1=a(0<a≤1)
(1)證明:xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)若l的方程為y=
1
4
x+
1
12
,試問在△AnBnAn+1(n∈N+)
中是否存在直角三角形,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)(n∈N)順次為一次函數(shù)y=
1
4
x+
1
12
圖象上的點,點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)(n∈N)順次為x軸正半軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N,點An、Bn、An+1構(gòu)成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形.
(1)求數(shù)列{yn}2的通項公式,并證明{yn}3是等差數(shù)列;
(2)證明xn+2-xn5為常數(shù),并求出數(shù)列{xn}6的通項公式;
(3)問上述等腰三角形An8Bn9An+110中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出以下四個命題,所有真命題的序號為
 

①從總體中抽取的樣本(x1,y1),(x2,y2),L,(xn,yn),若記
.
x
=
1
n
i=1nxi
.
y
=
1
n
i=1nyi,則回歸直線y=bx+a必過點(
.
x
,
.
y

②將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移
π
3
個單位,得到函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)
的圖象;
③已知數(shù)列an,那么“對任意的n∈N*,點Pn(n,aa)都在直線y=2x+1上”是{an}為等差數(shù)列的“充分不必要條件”
④命題“若x≥2,則x≥2或x≤-2”的否命題是“若{x}≥2,則-2<x<2”

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案