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如圖，有以下命題：設P、Q是線段AB的三等分點，則有O
P
+O
Q
=O
A
+O
B
把此命題推廣，設點A1，A2，A3…An-1是線段AB的n等分點（n≥3，n∈N*），則有O
A1
+O
A2
+O
A3
+…O
AN-1
=
n-1
2
n-1
2
（O
A
+O
B
）．
分析：受：“命題：設P、Q是線段AB的三等分點，則有O
P
+O
Q
=O
A
+O
B
”的啟示，如果點A1，A2，A3，…，An-1是AB的n（n≥3）等分點，歸納得出猜想O
A1
+O
A2
+O
A3
+…O
AN-1
=
n-1
2
（O
A
+O
B
）．再利用向量的運算證明結論．
解答：解：設
OA
=a，
OB
=b，能得到的結論是：
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
═
n-1
2
a
+
n-1
2
b
．
證明：
∵
OA1
=
OA
-
A1A
=
a
-
1
n
（
a
-
b
）=
n-1
n
a
+
1
n
b
，
OA2
=
OA
-
A2A
=
a
-
2
n
（
a
-
b
）=
n-2
n
a
+
2
n
b
，
…
OAn-1
=
OA
-
An-1A
=
a
-
n-1
n
（
a
-
b
）=
1
n
a
+
n-1
n
b
，
∴
OA1
+
OA2
+…+
OAn-1
=（
n-1
n
+
n-2
n
+…+
1
n
）
a
+（
n-1
n
+
n-2
n
+…+
1
n
）
b
 
=
n-1
2
a
+
n-1
2
b
．
故答案為：
n-1
2
．
點評：本題考查類比推理、向量加法、減法的運算法則和幾何意義，并且運用等差數列求和公式進行計算化簡以及進行合情推理．
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