【答案】
分析:(1)記棱B
1C
1的中點為G,連接BG、GM、GN,GM與B
1D
1的交點為H,連接BH,由正方體的幾何特征,結(jié)合異面直線夾角的定義可得,∠MBG是異面直線AN與BM所成的角,利用余弦定理,可得異面直線AN與BM所成角的正弦值;
(2)由已知中B
1H是等腰三角形MB
1G的頂角平分線,結(jié)合等腰三角形三線合一的性質(zhì),可得BH⊥MH,再由BB
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,可得BB
1⊥MH,結(jié)合線面垂直的判定定理,可得MH⊥平面DBB
1D
1,即MH為三棱錐M-DBB
1的高,計算出棱錐的底面積和高后,即可得到三棱錐M-DBB
1的體積.
解答:解:(1)記棱B
1C
1的中點為G,連接BG、GM、GN,GM與B
1D
1的交點為H,連接BH,如圖所示.…(1分)
∵ABCD-A
1B
1C
1D
1是正方體,G、N是中點,
∴GN

AB,即ABGN為平行四邊形.
∴BG||AN,∠MBG是異面直線AN與BM所成的角.…(3分)
又正方體的棱長為a,可得BM=BG=

a,MG=

a.
∴cos∠MBG=

. …(6分)
∴sin∠MBG=

.…(7分)
(2)∵B
1H是等腰三角形MB
1G的頂角平分線,
∴H是GM的中點,且BH⊥MH(BH是等腰三角形MBG底邊上的中線).…(9分)
∵BB
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,MH?平面A
1B
1C
1D
1,
∴BB
1⊥MH.
∴MH⊥平面DBB
1D
1,即MH為三棱錐M-DBB
1的高.…(12分)
∴

=

•MH
=

a
=

(體積單位). …(14分)
點評:本題考查的知識點是異面直線及其所成的角,棱錐的體積,其中(1)的關(guān)鍵是構(gòu)造出∠MBG是異面直線AN與BM所成的角,(2)的關(guān)鍵是證得MH為三棱錐M-DBB
1的高.