Question

三棱錐P—ABC中，側(cè)面PAC與底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

（1）求證:AB⊥BC；

（2）如果AB=BC=2，求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大小.

Answer 1

（1）證明:取AC中點(diǎn)D，連結(jié)PD、BD.

    因?yàn)镻A=PC，所以PD⊥AC.

    又已知面PAC⊥面ABC，

    所以PD⊥面ABC，D為垂足.

    因?yàn)镻A=PB=PC，

    所以DA=DB=DC.可知AC為△ABC外接圓直徑，

    因此AB⊥BC.

（2）解:因?yàn)锳B=BC，D為AC中點(diǎn)，所以BD⊥AC.

    又面PAC⊥面ABC，

    所以BD⊥平面PAC，D為垂足.

    作BE⊥PC于點(diǎn)E，連結(jié)DE，

    因?yàn)镈E為BE在平面PAC內(nèi)的射影，

    所以DE⊥PC，即∠BED為所求二面角的平面角.

    在Rt△ABC中，AB=BC=2，

    所以BD=.

    在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

    所以DE=.

    因此，在Rt△BDE中，tan∠BED=,∴∠BED=60°.

∴側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成的二面角為60°.