Question

設(shè)是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，給出如下兩個(gè)命題上：

命題：是等差數(shù)列；命題：等式對(duì)任意（）恒成立，其中是常數(shù)。

⑴若是的充分條件，求的值；

⑵對(duì)于⑴中的與，問(wèn)是否為的必要條件，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶若為真命題，對(duì)于給定的正整數(shù)（）和正數(shù)M，數(shù)列滿足條件，試求的最大值。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）是，證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）是等差數(shù)列，和可以用裂項(xiàng)相消法求出，等式就變?yōu)殛P(guān)于的恒等式，利用恒等式的知識(shí)可求出；（2）等式對(duì)任意（）恒成立，等式左邊是一個(gè)和式，相當(dāng)于一個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和，處理方法是把式子中的用代換后，兩式相減，本題中得到，這個(gè)式子可整理為，這是關(guān)于的恒等式，因此

，即，　這就說(shuō)明為等差數(shù)列，得證，解題時(shí)還要注意對(duì)的初始值是否成立；（3）已知條件為等差數(shù)列中，要求的最大值，為了能對(duì)數(shù)列進(jìn)行處理，我們利用三角換元法，對(duì)已知條件變換，設(shè)設(shè)，（），這樣數(shù)列的公差就可求出，從而也就能求出前項(xiàng)和，，再利用三角函數(shù)的最大值為，就能求出的最大值．

試題解析：(1)設(shè)的公差為，則原等式可化為

，所以，

即對(duì)于恒成立，所以．     4分

（2）當(dāng)時(shí)，假設(shè)為的必要條件，即“若①對(duì)于任意的（）恒成立，則為等差數(shù)列”，

當(dāng)時(shí)，顯然成立，          6分

當(dāng)時(shí)，②，由①－②得：，

即③，

當(dāng)時(shí)，，即成等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，④，由③④得，所以為等差數(shù)列，即是的必要條件．          10分

（3）由，可設(shè)，所以．

設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以，

所以，

，

所以的最大值為．          16分

考點(diǎn)：（1）等差數(shù)列的性質(zhì)；（2）等差數(shù)列的證明；（3）的最大值問(wèn)題．