在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）是否存在點，使得直線與拋物線相切于點？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）若點的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個不同的交點，與圓有兩個不同的交點，求當(dāng)時，的最小值.

 

【答案】

： （Ⅰ）

（Ⅱ）存在，點的坐標(biāo)為

（Ⅲ）當(dāng)時，的最小值為

【解析】：（Ⅰ）

 

 

如圖，取的中點則,即

所以拋物線的方程為

（Ⅱ）

設(shè)存在點使得直線與拋物線相切于點

由得切線的斜率為直線的方程為

，代入得，

由得，

化簡得

因是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，所以

所以所求的點的坐標(biāo)為

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，

到直線的距離的平方為，

所以.

聯(lián)立得

所以,

,

令由于，所以

設(shè)

.

當(dāng)時，為增函數(shù)，

所以

即當(dāng)時，的最小值為

【考點定位】本題通過拋物線和圓的性質(zhì)確定拋物線方程，呈現(xiàn)出對基礎(chǔ)知識的考查。并進(jìn)一步把問題深化，考查了切線方程的求法，點到直線的距離公式，曲線的弦長運算等，最后通過導(dǎo)數(shù)工具求得結(jié)果,有很強的綜合性，著力體現(xiàn)了能力考查

 

練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點，則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是
 
（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，以點（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點，若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點，則r=
 
．

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