【題目】已知函數(shù) .
(1)若在
處導(dǎo)數(shù)相等,證明:
;
(2)若對(duì)于任意 ,直線
與曲線
都有唯一公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(I)見解析(II)
【解析】
(1)由題x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,得到
,得
,
由韋達(dá)定理得,由基本不等式得
,得
,由題意得
,令
,則
,令
,,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明
.
(2)由得
,令
,
利用反證法可證明證明恒成立。
由對(duì)任意,
只有一個(gè)解,得
為
上的遞增函數(shù),
得
,令
,由此可求
的取值范圍..
(I)
令,得
,
由韋達(dá)定理得
即,得
令,則
,令
,
則,得
(II)由得
令,
則,
,
下面先證明恒成立。
若存在,使得
,
,
,且當(dāng)自變量
充分大時(shí),
,所以存在
,
,使得
,
,取
,則
與
至少有兩個(gè)交點(diǎn),矛盾。
由對(duì)任意,
只有一個(gè)解,得
為
上的遞增函數(shù),
得,令
,則
,
得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形紙片中,
,將矩形紙片的右下角沿線段
折疊,使矩形的頂點(diǎn)B落在矩形的邊
上,記該點(diǎn)為E,且折痕
的兩端點(diǎn)M,N分別在邊
上.設(shè)
,
的面積為S.
(1)將l表示成θ的函數(shù),并確定θ的取值范圍;
(2)求l的最小值及此時(shí)的值;
(3)問當(dāng)θ為何值時(shí),的面積S取得最小值?并求出這個(gè)最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢驗(yàn)訓(xùn)練情況,武警某支隊(duì)于近期舉辦了一場(chǎng)展示活動(dòng),其中男隊(duì)員12人,女隊(duì)員18人,測(cè)試結(jié)果如莖葉圖所示(單位:分).若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號(hào),其他隊(duì)員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號(hào).
(1)若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人,然后再從這10人中選4人,那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少?
(2)若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表,用表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數(shù),試求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線
對(duì)稱,為了得到函數(shù)
的圖象,只需將函數(shù)
的圖象上的所有點(diǎn)( )
A.先向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變
B.先向右平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的
,縱坐標(biāo)保持不變
C.先向右平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變
D.先向左平移個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的
,縱坐標(biāo)保持不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某冰糖橙,甜橙的一種,云南著名特產(chǎn),以味甜皮薄著稱。該橙按照等級(jí)可分為四類:珍品、特級(jí)、優(yōu)級(jí)和一級(jí)(每箱有5kg),某采購商打算訂購一批橙子銷往省外,并從采購的這批橙子中隨機(jī)抽取100箱,利用橙子的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下表:
等級(jí) | 珍品 | 特級(jí) | 優(yōu)級(jí) | 一級(jí) |
箱數(shù) | 40 | 30 | 10 | 20 |
(1)若將頻率改為概率,從這100箱橙子中有放回地隨機(jī)抽取4箱,求恰好抽到2箱是一級(jí)品的概率:
(2)利用樣本估計(jì)總體,莊園老板提出兩種購銷方案供采購商參考:
方案一:不分等級(jí)賣出,價(jià)格為27元/kg;
方案二:分等級(jí)賣出,分等級(jí)的橙子價(jià)格如下:
等級(jí) | 珍品 | 特級(jí) | 優(yōu)級(jí) | 一級(jí) |
售價(jià)(元/kg) | 36 | 30 | 24 | 18 |
從采購商的角度考慮,應(yīng)該采用哪種方案?
(3)用分層抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱,再從抽取的10箱中隨機(jī)抽取3箱,X表示抽取的是珍品等級(jí),求x的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:
的焦點(diǎn)
為圓
的圓心.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率的直線
過拋物線的焦點(diǎn)
與拋物線相交于
兩點(diǎn),求弦長
.
【答案】(1);(2)8.
【解析】試題分析:(1)先求圓心得焦點(diǎn),根據(jù)焦點(diǎn)得拋物線方程(2)先根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程,與拋物線聯(lián)立方程組,利用韋達(dá)定理以及弦長公式得弦長.
試題解析:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心坐標(biāo)為
,
即焦點(diǎn)坐標(biāo)為,得到拋物線
的方程:
(2)直線:
,聯(lián)立
,得到
弦長
【題型】解答題
【結(jié)束】
19
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
,
.
(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請(qǐng)說明理由.
(2)若在
處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢測(cè)某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)分成,
,
,
,
,
,
組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區(qū)間
之外,則認(rèn)為該零件屬“不合格”的零件,其中
,
分別為樣本平均和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算可得
(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(1)若一個(gè)零件的尺寸是,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件;
(2)工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前組中抽出
個(gè)零件,標(biāo)上記號(hào),并從這
個(gè)零件中再抽取
個(gè),求再次抽取的
個(gè)零件中恰有
個(gè)尺寸小于
的概率.
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