如圖所示，設(shè)P1，P2，…，Pn，…是半拋物線上的點(diǎn)列，Q1，Q2，…Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…都是正三角形．設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+ an=n(n+1)．

 

 

答案：
提示：

證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)?i>P1是直線y=與半拋物線y=的交點(diǎn)，

　　∴　P1點(diǎn)的坐標(biāo)為

　　∴　a1=|OP1|=

　　而，命題成立．

　　(2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即

　　a1+a2+…+ak

　　則Qk點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線QkPk+1的方程為y=，代入y=，解得Pk+1點(diǎn)的坐標(biāo)為，

　　ak+1=|QkPk+1|

　　　

　　　

　　由此可得　a1+a2+…+ak+ak+1

　　　　　　

　　　　　　

　　這說明n=k+1時(shí)命題也成立．

由(1)、(2)可知，命題對(duì)所有n(n∈N*)都成立．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）過一點(diǎn)向平面引垂線，________叫做這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)的射影；當(dāng)這一點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，該點(diǎn)在平面上的射影就是它______；這一點(diǎn)與_______的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的_______.如圖所示，直線PQ⊥α,Q∈α,則點(diǎn)Q是______在平面α內(nèi)的_____，線段_______是點(diǎn)_______到平面α的______.?

（2）一條直線和一個(gè)平面相交，但不______時(shí)，這條直線就叫做這個(gè)平面的_______，斜線與平面的交點(diǎn)叫做_____.從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，這點(diǎn)與________間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的_______.如圖所示，直線PR∩α=R,PR不______于α,直線PR是α的一條_____，點(diǎn)R為_______，線段_____是點(diǎn)P到α的______.?

（3）平面外一點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段______條，而這點(diǎn)到這個(gè)平面的______有無數(shù)條.?

（4）從斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的_______，________與________間的線段叫做這點(diǎn)到平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的________.如圖所示，直線_____是直線PR在平面α上的______，線段______是點(diǎn)P到平面α的斜線段PR在平面α上的射影.?

（5）斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影一定在斜線的_____上.事實(shí)上，設(shè)a是平面α的斜線，B為斜足，在a上任取一點(diǎn)A，作AA1⊥α,A1是垂足，則A1、B確定的直線a′是a在平面α內(nèi)的______，如圖所示，設(shè)P是a上任意一點(diǎn)，在a和AA1確定的平面內(nèi)，作PP1∥AA1,PP1必與a′相交于一點(diǎn)P1.∵AA1α__________ ,PP1______________AA1，∴PP1__________α.P1為P在平面α上的射影，所以點(diǎn)P在平面α上的射影一定在直線a在平面α上的射影a′上.

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