Question

在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知，是曲線上的兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意知知|QF|=|QP|，所以|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|EP|=＞|EF|=2，由橢圓定義法知，Q點(diǎn)的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)實(shí)軸長(zhǎng)的橢圓，求出，寫出點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）設(shè)出M、N點(diǎn)坐標(biāo)和直線MN方程，代入曲線T的方程，整理成關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系將，用參數(shù)表示出來，利用判別式大于0列出關(guān)于參數(shù)的不等式，再利用題中的向量條件用參數(shù)把P點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，代入曲線T的方程，得出關(guān)于參數(shù)的等式，代入判別式得到關(guān)于的不等式，求出的范圍.

試題解析:（1）點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則，又，

則，故可得點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）令經(jīng)過點(diǎn)的直線為，則的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

將其代入橢圓方程整理可得

設(shè)，則，故

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

由，得，故

則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718572558555531/SYS201411171857338202868205_DA/SYS201411171857338202868205_DA.032.png">在橢圓上，故

化簡(jiǎn)，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯(lián)立①②兩式及，得，故且

綜上（1）（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.橢圓定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.運(yùn)算求解能力.