Question

已知函數(shù)f（x）=e^2x-ae^x+x，x∈R．
（Ⅰ）當a=3時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，ln2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導函數(shù)f'（x）=2e^2x-3e^2x+1=（2e^x-1）（e^x-1），再利用導函數(shù)值的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，ln2）上是單調(diào)遞增函數(shù)?f'（x）=2e^2x-ae^x+1≥0，x∈（0，ln2）恒成立?對任意x∈（0，ln2）恒成立，下面再利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式右邊的最大值即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：f'（x）=2e^2x-ae^x+1
（Ⅰ）當a=3時，f'（x）=2e^2x-3e^2x+1=（2e^x-1）（e^x-1）
令f'（x）＜0，得，-ln2＜x＜0
令f'（x）＞0，得或e^x＞1，x＜-ln2或x＞0
∴f（x）在（-∞，-ln2），（0，+∞）上遞增，在（ln2，0）上遞減．
從而，f（x）_極大值=f（-ln2）=--ln2，f（x）_極小值=f（0）=-2．
（Ⅱ）令f'（x）=2e^2x-ae^x+1≥0，x∈（0，ln2），
即對任意x∈（0，ln2）恒成立，
令t=e^x，t∈（1，2），
又令，易知h（t）在（1，2）上為增函數(shù)
∴h（t）＞3，故a≤3
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是．教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．