4位男生和4位女生共8位同學(xué)站成一排,計(jì)算下列情況的排隊(duì)種數(shù):
(1)男生甲和女生乙相鄰排隊(duì);
(2)男生甲和女生乙順序固定;
(3)若女生甲不站兩端,4位男生中有且只有兩位男生相鄰.
分析:(1)用捆綁法,先將甲、乙看成一個(gè)元素,同時(shí)考慮其順序,再將甲乙與其他人進(jìn)行全排列,由排列數(shù)公式,可得其情況數(shù)目,進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理,計(jì)算可得答案;
(2)用倍分法,先對(duì)8個(gè)人全排列,由排列公式,可得其情況數(shù)目,進(jìn)而分析可得其中甲乙的順序有兩種情況,且其數(shù)目各占一半,由倍分法計(jì)算可得答案;
(3)分3步進(jìn)行分析:第1步,先排甲之外的三個(gè)女生,排好后,有4個(gè)空位,第2步,用捆綁法,在男生中取出兩人,看成一個(gè)元素,同時(shí)考慮其順序,將其與剩余的2名男生,插入女生的空位中,第3步,在其排好的空位中,插入女生甲,分別計(jì)算每一步的情況數(shù)目,由分步計(jì)數(shù)原理,計(jì)算可得答案.
解答:解:(1)將甲、乙看成一個(gè)元素,考慮其順序,有2種情況,
將甲乙與其他人進(jìn)行全排列,共7個(gè)元素,有A77=5040種情況,
共有2×5040=10080種情況;
(2)先對(duì)8個(gè)人全排列,有A88=40320種情況,
其中甲乙的順序有兩種情況,即甲在乙前或甲在乙后,數(shù)目各占一半,
則甲、乙順序一定的情況有
1
2
×40320=20160種情況,
(3)先排甲之外的三個(gè)女生,有A33=6種情況,排好后,有4個(gè)空位,
在男生中取出兩人,考慮其順序,有2C42=12種情況,
將其與剩余的2名男生,在女生的4個(gè)空位中,任取3個(gè)插入,有A43=24種情況,有6×12×24=1728種方法,
此時(shí)排除兩端的空位,有5個(gè)空位可用,插入女生甲,有5種情況,
則共有1728×5=8640種情況.
點(diǎn)評(píng):本題考查排列、組合的運(yùn)用,關(guān)鍵要掌握常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法,優(yōu)先分析受限制的元素,不相鄰問(wèn)題用插空法,相鄰問(wèn)題用捆綁法.
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