Question

已知點(diǎn)A，B是雙曲線x2-

y2

2

=1上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若

OA

•

OB

=0，則點(diǎn)O到直線AB的距離為

2

．

Answer 1

分析：利用向量的垂直與坐標(biāo)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的解題模式即可得出．

解答：解：設(shè)直線AB的方程為my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵my₁=x₁+t，my₂=x₂+t，∴x₁x₂=（my₁-t）（my₂-t）=m2y1y2-mt(y1+y2)+t2=0，
∴(m2+1)y1y2-mt(y1+y2)+t2=0．（*）
聯(lián)立

my=x+t x2- y2 2 =1

，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程：2（my-t）²-y²=2，
化為（2m²-1）y²-4mty+2t²-2=0（2m²-1≠0）．
∵直線BA與此雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△＞0．
由根與系數(shù)的關(guān)系得y₁+y₂=

4mt

2m2-1

，y₁y₂=

2t2-2

2m2-1

，代入（*）得

(m2+1)(2t2-2)

2m2-1

-

4m2t2

2m2-1

+t2=0，
化為t²=2（m²+1）．
∴點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|t|

m2+1

=

2

．
故答案為

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的垂直與坐標(biāo)的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的解題模式是解題的關(guān)鍵．