Question

若函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1在x∈[0，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)．求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，進(jìn)而分類討論函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1在x∈[0，e]上的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1在x∈[0，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)的a的范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

a

x+ 1 2

+ln（x+

1

2

）-1，
∴f′(x)=-

a

(x+ 1 2 )2

+

1

x+ 1 2

=

x+ 1 2 -a

(x+ 1 2 )2

…（3分）
①當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，f′(x)=

x+ 1 2 -a

(x+ 1 2 )2

＞0對(duì)于x∈[0，e]恒成立，
即函數(shù)f（x）在x∈[0，e]上為增函數(shù)，所以不合題意；…．（5分）
②當(dāng)

1

2

＜a≤e+

1

2

時(shí)，令f′(x)=

x+ 1 2 -a

(x+ 1 2 )2

=0，得x=a-

1

2

，
當(dāng)0＜x＜a-

1

2

時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＞a-

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
所以當(dāng)x=a-

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）（x∈（0，+∞）取到最小值，
所以要使函數(shù)f（x）在x∈[0，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則

0＜a- 1 2 ＜e f(0)=2a+ln 1 2 -1≥0 f(e)= a e+ 1 2 +ln(e+ 1 2 )-1≥0 f(a- 1 2 )=1+lna-1＜0

，解得

1+ln2

2

≤a＜1…（9分）
③當(dāng)a＞e+

1

2

時(shí)，f'（x）＜0對(duì)于x∈[0，e]恒成立，
即函數(shù)f（x）在x∈[0，e]上為減函數(shù)，
所以不滿足題意．…（11分）
綜上可知：a的取值范圍是[

1+ln2

2

，1)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．