Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M、N分別在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN=BC₁，則下列結(jié)論：①AA₁⊥MN；②A₁C₁// MN；③MN//平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN，其中，

正確命題的個(gè)數(shù)是（  ）

     A．1             B．2             C．3               D．4

 

Answer 1

【答案】

B

【解析】解；在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的四條棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分別取點(diǎn)G，F(xiàn)，E，H四點(diǎn)，

使AG= A₁A，BF=B₁B，CE=C₁C，DH= D₁D，連接GF，F(xiàn)E，EH，HG，

∵點(diǎn)M、N分別在AB₁、BC₁上，且AM=AB₁，BN= BC₁，

∴M在線(xiàn)段GF上，N點(diǎn)在線(xiàn)段FE上．且四邊形GFEH為正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，

∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，∵M(jìn)N⊂平面GFEH，∴AA₁⊥MN，∴①正確．

∵A₁C₁∥GE，而GE與MN不平行，∴A₁C₁與MN不平行，∴②錯(cuò)誤．

∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，∴③正確．

∵B₁D₁⊥FH，F(xiàn)H⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，B₁D₁⊂平面A₁B₁C₁D₁，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，

且MN與FH不平行，∴B₁D₁不可能垂直于MN，∴④錯(cuò)誤

∴正確命題只有①③

故選B